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高校物理の難易度を知る!力のモーメント

 物理の入門問題精講で楽しく復習している。運動方程式の次に登場するのは「剛体のつり合い」だが、これは物理基礎では習わず、物理で習うようだ。

 

 大きさを持つが変形をしない物体を剛体という。剛体を回転させる作用を表す量を「力のモーメント」という。数式で表すと以下のようになる:

 力の大きさ×支点と作用線の距離
  =力のモーメント

 

 シーソーの一方の端に人がまたがっているケースが代表的な例だが、実はそう簡単ではない。力のモーメントを求める場合、二つのアプローチがある:

 

アプローチ1
回転の軸と作用点を結ぶ直線の距離×この直線に垂直な力の成分
(力を分解する必要がある)

アプローチ2
回転の軸と作用線の最短距離×力
(力を作用線上で移動させる必要がある)

 

 シーソーの例では、回転の軸はシーソーの真ん中の支点で、作用点は人がまたがっている位置である。作用線は力の働く方向であり、重力の向きになる。どちらのアプローチをとっても同じ値になるが、実際の問題ではアプローチ2を使うケースが多いのではないかと思う。

 

 しかし、アプローチ1・2を使い分けて問題を解くだけではもったいないと思う。微積分とベクトルの外積を習えば、ケプラーの第二法則と力のモーメントの関係がわかるのである。

 

ケプラーの第二法則と力のモーメント

 力のモーメントは、二つのベクトルの外積であり、ベクトル量である。二つのベクトルは、位置ベクトル(支点から作用点に向かうベクトル)と力(作用点に働くベクトル)である。

 

 ケプラーの第二法則(惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間に通過する面積は一定)は、角運動量の保存を意味している。角運動量を時間微分すると力のモーメントになる。言い方を変えれば、角運動量の時間変化率が力のモーメントである。太陽と地球の間に働く万有引力は位置ベクトルと平行なので、二つのベクトルの外積はゼロになる。ある物理量が時間微分するとゼロ(時間変化率がゼロ)になるとき、その物理量は保存されている。

 

 残念なことに、ベクトルの外積は高校数学の範囲外で、角運動量も高校物理の範囲外である。「なんでそうなるの」である。試験では難しい問題をどれだけ解けるかだが、本当の学びは「こっちでしょ」と思う。