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高校数学の難易度を知る!集合と論理

 集合と論理はこれまで地道な印象しかなかったが、文系理系を問わず、一番有用な単元の一つかもしれない。入門問題精講の池田洋介先生の説明がとにかく楽しい。「かわいい猫の集まり」から話を始めるところがうまい(猫好きかな)。

 

ド・モルガンの法則

 集合Aに属さないものの集合をAの補集合という。ド・モルガンの法則は、補集合をとることで「かつ」と「または」が入れ替わる。「AかつB」の補集合は、「Aに属さない」(Aの補集合)または「Bに属さない」(Bの補集合)になる。「AまたはB」の補集合は、「Aに属さない」かつ「Bに属さない」になる。

 

対偶

 ある命題の対偶は、逆にして裏返すか、裏返してから逆にしたものである。例えば、Pならばq(p→q)の対偶は、逆(q→p)にして裏返す(qではない→pではない)。p→qが真であれば、その対偶は真になる。p→qの真偽がわかりにくい場合、その対偶の真偽を考えた方がわかりやすい場合に使える。

 

必要条件と十分条件

集合Pと集合Qの包含関係がP⊃Qの場合、PはQであるための必要条件(QはPであるための十分条件)になる。P⊂Qの場合は、PはQであるための十分条件(QはPであるための必要条件)になる。P=Qの場合、PはQの必要十分条件になる。

 ここは基礎問題精講の説明がわかりやすい。

 

背理法

 示すべき結論が成り立たないと仮定して、そのように仮定すると何らかの不合理(矛盾)が生じることをもって、最初の結論の正しさを証明する方法を背理法という。入門問題精講では、あみだくじを例にとり、背理法をわかりやすく説明してくれる。√2が有理数ではないことを背理法を使って証明するのが定番のようである。

 

 いや〜、勉強になった。実社会で結構使えそうだ。